В каких случаях используют формулу хартли. Формула шеннона, информационная энтропия

Хартли в 1928, а затем Шеннон в 1948 предложили формулы для вычисления количества информации, но вопрос о природе информации остался открытым. Шеннон научился измерять количество информации, передаваемой по каналам связи, однако на вопрос о том, что такое информация он не ответил.

Формула Хартли. В 1928 Хартли предложил формулу для вычисления количества информации, необходимого для нахождения (угадывания) одного выделенного элемента x из множества M, содержащего N элементов. Это количество информации вычисляется по формуле

Неопределённость ситуации (энтропия H) в этом случае тем больше, чем больше N. Очевидно, что при N=1 неопределённость вообще отсутствует - Н=0; В этом случае множество М состоит из одного элемента, и количество информации, необходимое для нахождения x, равно нулю.

Если N =2, то для «угадывания» одно элемента из требуется Н=Log 2 (2) =1 единица информации. Это количество информации принято за единицу измерения и называется 1 бит.

Дальнейшее развитие теория измерения информации получила в работа К. Шеннона.

В 1948 году Шеннон опубликовал свой opus magnum «Математическая теория связи». Вот как он формулировал задачу: «фундаментальной проблемой связи является воспроизведение в одной точке, точно или приблизительно, сообщения, собранного в другой точке». Собственно, вся терминология науки о коммуникациях была введена именно Шенноном.

В теории Шеннона изучаются сведения, которые кодируются и передаются в форме сигналов техническими средствами. (Это скорее ДАННЫЕ, чем информация). Здесь можно ввести количественную меру информации - 1 бит.

Суть подхода Шеннона к определению количества информации, необходимого для выяснения состояния некоторой системы, состоит в следующем.

Определение. Если Х – случайная величина (физическая система),принимающая значения (состояния) x i c вероятностью р i , то энтропия случайной величины X

H(X)= - Sр i * Log 2 (р i) , i = 1,2,...n

Наибольшее значение H(X) принимает в случае, когда все р i = p = 1/n:

H(X) = Log 2 (n),

и мы приходим к формуле Хартли.

Log 2 (n) >= - Sр i * Log 2 (р i)

Вероятность - количественная мера возможности некоторого события. Некоторые события более возможны, чем другие. Есть невозможное событие Q- его вероятность р(Q) =0. Есть достоверное событие W, его вероятность р(W)= 1. Для других событий A, которые не являются ни достоверными, ни невозможными выполняется соотношение 0 < p(A) < 1.

Первоначально Шеннон интересовался передачей зашифрованных сообщений, и предложил способ вычисления количества информации, содержащейся в таком сообщении.

Текстовое сообщение, состоящее из N букв содержит

единиц информации, где М -число букв в алфавите, p i - частота буквы под номером i.

Каждое передаваемое сообщение имеет свое содержание. Но в подходе Шеннона оно совершенно несущественно при передаче информации по каналу связи. Бессмысленные сообщения передаются также, как и осмысленные. Количество информации, вычисленное по формуле Шеннона, для осмысленного сообщения, и сообщения полученного из него произвольной перестановкой букв, будет одинаковым.

Если алфавит бинарный = {1;0}, и сообщение состоит из N букв, то I = Log 2 (2 N) = N бит.

В 1928 г. американский инженер Р. Хартли предложил научный подход к оценке сообщений. Предложенная им формула имела следующий вид:

I = log 2 K ,
Где К - количество равновероятных событий; I - количество бит в сообщении, такое, что любое из К событий произошло. Тогда K=2 I .
Иногда формулу Хартли записывают так:

I = log 2 K = log 2 (1 / р) = - log 2 р,
т. к. каждое из К событий имеет равновероятный исход р = 1 / К, то К = 1 / р.

Задача.

Шарик находится в одной из трех урн: А, В или С. Определить сколько бит информации содержит сообщение о том, что он находится в урне В.

Такое сообщение содержит I = log 2 3 = 1,585 бита информации.

Но не все ситуации имеют одинаковые вероятности реализации. Существует много таких ситуаций, у которых вероятности реализации различаются. Например, если бросают несимметричную монету или "правило бутерброда".

"Однажды в детстве я уронил бутерброд. Глядя, как я виновато вытираю масляное пятно, оставшееся на полу, старший брат успокоил меня:

Не горюй, это сработал закон бутерброда.

Что еще за закон такой? - спросил я.

Закон, который гласит: "Бутерброд всегда падает маслом вниз". Впрочем, это шутка, - продолжал брат.- Никакого закона нет. Прсто бутерброд действительно ведет себя довольно странно: большей частью масло оказывается внизу.

Давай-ка еще пару раз уроним бутерброд, проверим, - предложил я. - Все равно ведь его придется выкидывать.

Проверили. Из десяти раз восемь бутерброд упал маслом вниз.

И тут я задумался: а можно ли заранее узнать, как сейчас упадет бутерброд маслом вниз или вверх?

Наши опыты прервала мать…"
(Отрывок из книги "Секрет великих полководцев", В.Абчук).

В 1948 г. американский инженер и математик К Шеннон предложил формулу для вычисления количества информации для событий с различными вероятностями.
Если I - количество информации,
К - количество возможных событий,
рi - вероятности отдельных событий,
то количество информации для событий с различными вероятностями можно определить по формуле:

I = - Sum р i log 2 р i ,
где i принимает значения от 1 до К.

Формулу Хартли теперь можно рассматривать как частный случай формулы Шеннона:

I = - Sum 1 / К log 2 (1 / К) = I = log 2 К.

При равновероятных событиях получаемое количество информации максимально.

Задачи.
1. Определить количество информации, получаемое при реализации одного из событий, если бросают
а) несимметричную четырехгранную пирамидку;
б) симметричную и однородную четырехгранную пирамидку.

Решение.
а) Будем бросать несимметричную четырехгранную пирамидку.
Вероятность отдельных событий будет такова:
р1 = 1 / 2,
р2 = 1 / 4,
р3 = 1 / 8,
р4 = 1 / 8,
тогда количество информации, получаемой после реализации одного из этих событий, рассчитывается по формуле:
I = -(1 / 2 log 2 1/2 + 1 / 4 log 2 1/4 + 1 / 8 log 2 1/8 + 1 / 8 log 2 1/8) = 1 / 2 + 2 / 4 + + 3 / 8 + 3 / 8 = 14/8 = 1,75 (бит).
б) Теперь рассчитаем количество информации, которое получится при бросании симметричной и однородной четырехгранной пирамидки:
I = log 2 4 = 2 (бит).
2. Вероятность перового события составляет 0,5, а второго и третьего 0,25. Какое количество информации мы получим после реализации одного из них?
3. Какое количество информации будет получено при игре в рулетку с 32-мя секторами?
4. Сколько различных чисел можно закодировать с помощью 8 бит?
Решение: I=8 бит, K=2 I =2 8 =256 различных чисел.

Физиологи и психологи научились определять количество информации, которое человек может воспринимать при помощи органов чувств, удерживать в памяти и подвергать обработке. Информацию можно представлять в различных формах: звуковой, знаковой и др. рассмотренный выше способ определения количества информации, получаемое в сообщениях, которые уменьшают неопределенность наших знаний, рассматривает информацию с позиции ее содержания, новизны и понятности для человека. С этой точки зрения в опыте по бросанию кубика одинаковое количество информации содержится в сообщениях "два", "вверх выпала грань, на которой две точки" и в зрительном образе упавшего кубика.

При передаче и хранении информации с помощью различных технических устройств информацию следует рассматривать как последовательность знаков (цифр, букв, кодов цветов точек изображения), не рассматривая ее содержание.

Считая, что алфавит (набор символов знаковой системы) - это событие, то появление одного из символов в сообщении можно рассматривать как одно из состояний события. Если появление символов равновероятно, то можно рассчитать, сколько бит информации несет каждый символ. Информационная емкость знаков определяется их количеством в алфавите. Чем из большего количества символов состоит алфавит, тем большее количество информации несет один знак. Полное число символов алфавита принято называть мощностью алфавита.

Молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновой кислоты) состоят из четырех различных составляющих (нуклеотидов), которые образуют генетический алфавит. Информационная емкость знака этого алфавита составляет:

4 = 2 I , т.е. I = 2 бит.

При таком подходе в результате сообщения о результате бросания кубика, получим различное количество информации, Чтобы его подсчитать, нужно умножить количество символов на количество информации, которое несет один символ.

Количество информации, которое содержит сообщение, закодированное с помощью знаковой системы, равно количеству информации, которое несет один знак, умноженному на число знаков в сообщении.

Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной , если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

Примеры

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464 (10) ; б) 380,1875 (10) ; в) 115,94 (10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

а) 464 (10) = 111010000 (2) ; б) 380,1875 (10) = 101111100,0011 (2) ; в) 115,94 (10) » 1110011,11110 (2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2 3). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной - слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части - слева, в дробной - справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

Наиболее важные системы счисления.

Американский инженер Р. Хартли в 1928 г. процесс получения информации рассматривал как выбор одного сообщения из конечного наперёд заданного множества из N равновероятных сообщений, а количество информации I, содержащееся в выбранном сообщении, определял как двоичный логарифм N.

Формула Хартли: I = log 2 N или N = 2 i

Допустим, нужно угадать одно число из набора чисел от единицы до ста. По формуле Хартли можно вычислить, какое количество информации для этого требуется: I = log 2 100 > 6,644. Таким образом, сообщение о верно угаданном числе содержит количество информации, приблизительно равное 6,644 единицы информации.

Приведем другие примеры равновероятных сообщений :

1. при бросании монеты: «выпала решка», «выпал орел»;

2. на странице книги: «количество букв чётное», «количество букв нечётное».

Определим теперь, являются ли равновероятными сообщения «первой выйдет из дверей здания женщина» и«первым выйдет из дверей здания мужчина ». Однозначно ответить на этот вопрос нельзя. Все зависит от того, о каком именно здании идет речь. Если это, например, станция метро, то вероятность выйти из дверей первым одинакова для мужчины и женщины, а если это военная казарма, то для мужчины эта вероятность значительно выше, чем для женщины.

Для задач такого рода американский учёный Клод Шеннон предложил в 1948 г. другую формулу определения количества информации, учитывающую возможную неодинаковую вероятность сообщений в наборе .

Формула Шеннона: I = - (p 1 log 2 p 1 + p 2 log 2 p 2 + . . . + p N log 2 p N),

где p i - вероятность того, что именно i-е сообщение выделено в наборе из N сообщений.

Легко заметить, что если вероятности p 1 , ..., p N равны, то каждая из них равна 1 / N, и формула Шеннона превращается в формулу Хартли.

Помимо двух рассмотренных подходов к определению количества информации, существуют и другие. Важно помнить, что любые теоретические результаты применимы лишь к определённому кругу случаев, очерченному первоначальными допущениями .

В качестве единицы информации Клод Шеннон предложил принять один бит (англ. bit - binary digit - двоичная цифра).

Бит в теории информации - количество информации, необходимое для различения двух равновероятных сообщений (типа «орел»-«решка», «чет»-«нечет» и т.п.).

В вычислительной технике битом называют наименьшую «порцию» памяти компьютера, необходимую для хранения одного из двух знаков «0» и «1», используемых для внутримашинного представления данных и команд.

Бит - слишком мелкая единица измерения. На практике чаще применяется более крупная единица - байт , равная восьми битам. Именно восемь битов требуется для того, чтобы закодировать любой из 256 символов алфавита клавиатуры компьютера (256=2 8).

Широко используются также ещё более крупные производные единицы информации:

1 Килобайт (Кбайт) = 1024 байт = 210 байт,

1 Мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайт = 220 байт,

1 Гигабайт (Гбайт) = 1024 Мбайт = 230 байт.

В последнее время в связи с увеличением объёмов обрабатываемой информации входят в употребление такие производные единицы, как:

1 Терабайт (Тбайт) = 1024 Гбайт = 240 байт,

1 Петабайт (Пбайт) = 1024 Тбайт = 250 байт.

За единицу информации можно было бы выбрать количество информации, необходимое для различения, например, десяти равновероятных сообщений. Это будет не двоичная (бит), а десятичная (дит ) единица информации.

Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение получающему его человеку. Сообщение содержит информацию для человека, если заключенные в нем сведения являются для этого человека новыми и понятными, и, следовательно, пополняют его знания.

Информацию, которую получает человек, можно считать мерой уменьшения неопределенности знаний. Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности наших знаний, то можно говорить, что такое сообщение содержит информацию.

За единицу количества информации принято такое количество информации, которое мы получаем при уменьшении неопределенности в 2 раза. Такая единица названа бит .

В компьютере информация представлена в двоичном коде или на машинном языке, алфавит которого состоит из двух цифр (0 и 1). Эти цифры можно рассматривать как два равновероятных состояния. При записи одного двоичного разряда реализуется выбор одного из двух возможных состояний (одной из двух цифр) и, следовательно, один двоичный разряд несет количество информации в 1 бит. Два двоичных разряда несут информацию 2 бита, три разряда – 3 бита и т.д.

Поставим теперь обратную задачу и определим: «Какое количество различных двоичных чисел N можно записать с помощью I двоичных разрядов?» С помощью одного двоичного разряда можно записать 2 различных числа (N=2=2 1), с помощью двух двоичных разрядов можно записать четыре двоичных числа (N=4=2 2), с помощью трех двоичных разрядов можно записать восемь двоичных чисел (N=8=2 3) и т.д.

В общем случае количество различных двоичных чисел можно определить по формуле

N – количество возможных событий (равновероятных)!!!;

В математике существует функция, с помощью которой решается показательное уравнение, эта функция называется логарифмом. Решение такого уравнения имеет вид:

Если события равновероятны , то количество информации определяется по данной формуле.

Количество информации для событий с различными вероятностями определяется по формуле Шеннона :

,

где I – количество информации;

N – количество возможных событий;

P i – вероятность отдельных событий.

Пример 3.4

В барабане для розыгрыша лотереи находится 32 шара. Сколько информации содержит сообщение о первом выпавшем номере (например, выпал номер 15)?

Решение:

Поскольку вытаскивание любого из 32 шаров равновероятно, то количество информации об одном выпавшем номере находится из уравнения: 2 I =32.

Но 32=2 5 . Следовательно, I=5 бит. Очевидно, ответ не зависит от того, какой именно выпал номер.

Пример 3.5

Какое количество вопросов достаточно задать вашему собеседнику, чтобы наверняка определить месяц, в котором он родился?

Решение:

Будем рассматривать 12 месяцев как 12 возможных событий. Если спрашивать о конкретном месяце рождения, то, возможно, придется задать 11 вопросов (если на 11 первых вопросов был получен отрицательный ответ, то 12-й задавать не обязательно, так как он и будет правильным).

Правильнее задавать «двоичные» вопросы, то есть вопросы, на которые можно ответить только «да» или «нет». Например, «Вы родились во второй половине года?». Каждый такой вопрос разбивает множество вариантов на два подмножества: одно соответствует ответу «да», а другое – ответу «нет».

Правильная стратегия состоит в том, что вопросы нужно задавать так, чтобы количество возможных вариантов каждый раз уменьшалось вдвое. Тогда количество возможных событий в каждом из полученных подмножеств будет одинаково и их отгадывание равновероятно. В этом случае на каждом шаге ответ («да» или «нет») будет нести максимальное количество информации (1 бит).

По формуле 2 и с помощью калькулятора получаем:

бита.

Количество полученных бит информации соответствует количеству заданных вопросов, однако количество вопросов не может быть нецелым числом. Округляем до большего целого числа и получаем ответ: при правильной стратегии необходимо задать не более 4 вопросов.

Пример 3.6

После экзамена по информатике, который сдавали ваши друзья, объявляются оценки («2», «3», «4» или «5»). Какое количество информации будет нести сообщение об оценке учащегося А, который выучил лишь половину билетов, и сообщение об оценке учащегося В, который выучил все билеты.

Решение:

Опыт показывает, что для учащегося А все четыре оценки (события) равновероятны и тогда количество информации, которое несет сообщение об оценке, можно вычислить по формуле (1):

На основании опыта можно также предположить, что для учащегося В наиболее вероятной оценкой является «5» (p 1 =1/2), вероятность оценки «4» в два раза меньше (p 2 =1/4), а вероятности оценок «2» и «3» еще в два раза меньше (p 3 =p 4 =1/8). Так как события неравновероятны, воспользуемся для подсчета количества информации в сообщении формулой 2:

Вычисления показали, что при равновероятных событиях мы получаем большее количество информации, чем при неравновероятных событиях.

Пример 3.7

В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых, 20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика.

Решение:

Так как количество шариков разного цвета неодинаково, то вероятности зрительных сообщений о цвете вынутого из мешочка шарика также различаются и равны количеству шариков данного цвета деленному на общее количество шариков:

P б =0,1; P к =0,2; P с =0,3; P з =0,4.

События неравновероятны, поэтому для определения количества информации, содержащегося в сообщении о цвете шарика, воспользуемся формулой 2:

Для вычисления этого выражения, содержащего логарифмы можно воспользоваться калькулятором. I»1,85 бита.

Пример 3.8

Используя формулу Шеннона, достаточно просто определить, какое количество бит информации или двоичных разрядов необходимо, чтобы закодировать 256 различных символов. 256 различных символов можно рассматривать как 256 различных равновероятных состояний (событий). В соответствии с вероятностным подходом к измерению количества информации необходимое количество информации для двоичного кодирования 256 символов равно:

I=log 2 256=8 бит=1 байт

Следовательно, для двоичного кодирования 1 символа необходим 1 байт информации или 8 двоичных разрядов.

Какое количество информации содержится, к примеру, в тексте романа «Война и мир», во фресках Рафаэля или в генетическом коде человека? Ответа на эти вопросы наука не даёт и, по всей вероятности, даст не скоро. А возможно ли объективно измерить количество информации? Важнейшим результатом теории информации является следующий вывод:«В определенных, весьма широких условиях можно пренебречь качественными особенностями информации, выразить её количество числом, а также сравнить количество информации, содержащейся в различных группах данных».

В настоящее время получили распространение подходы к определению понятия «количество информации», основанные на том, что информацию, содержащуюся в сообщении, можно нестрого трактовать в смысле её новизны или, иначе, уменьшения неопределённости наших знаний об объекте. Эти подходы используют математические понятия вероятности и логарифма.

60. Измерение информации – вероятностный и алфавитный подходы. Формулы Хартли, Шеннона. Пример в MS Ex с el .

С точки зрения на информацию, как на снятую неопределеность, количество информации в сообщении о каком-то событии зависит от вероятности совершения данного события.

Научный подход к оценке сообщений был предложен еще в 1928 году Р. Хартли. Расчетная формула Хартли для равновероятностных событий имеет вид:

I = log 2 N или 2 I = N ,

где N - количество равновероятных событий (число возможных выборов), I - количество информации.

Если N = 2 (выбор из двух возможностей), то I = 1 бит.

Пример 1. Использование формулы Хартли для вычисления количества информации. Сколько бит информации несет сообщение о том, что

поезд прибывает на один из 8 путей?

Формула Хартли: I = log 2 N ,

где N – число равновероятностных исходов события, о котором речь идет в сообщении,

I – количество информации в сообщении.

I = log 2 8 = 3(бит) Ответ: 3 бита.

Модифицированная формула Хартли для неравновероятностных событий. Так как наступление каждого из N возможных событий имеет одинаковую вероятность

p = 1 / N , то N = 1 / p и формула имеет вид

I = log 2 N= log 2 (1/p) = - log 2 p

Количественная зависимость между вероятностью события (p) и количеством информации в сообщении о нем (I) выражается формулой:

I = log 2 (1/ p )

Вероятность события вычисляется по формуле p = K / N , K – величина, показывающая, сколько раз произошло интересующее нас событие; N – общее число возможных исходов, событий. Если вероятность уменьшается, то количество информации увеличивается.

Пример 2. В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 6 пятерок, 15 четверок, 8 троек и 1 двойка. Сколько бит информации несет сообщение о том, что Иванов получил четверку?

Ответ:1 бит.

Использование формулы Шеннона. Общий случай вычисления количества информации в сообщении об одном из N, но уже неравновероятных событий. Этот подход был предложен К.Шенноном в 1948 году.

Основные информационные единицы:

I ср = -

Значение I ср p i = 1 / N .

Пример 3. Сколько бит информации несет случайно сгенерированное сообщение «фара», если в среднем на каждую тысячу букв в русских текстах буква «а» встречается 200 раз, буква «ф» - 2 раза, буква «р» - 40 раз.

Будем считать, что вероятность появления символа в сообщении совпадает с частотой его появления в текстах. Поэтому буква «а» встречается со средней частотой 200/1000=0,2; Вероятность появления буквы “а” в тексте (p a)можем считать приблизительно равной 0,2;

буква «ф» встречается с частотой 2/1000=0,002; буква «р» - с частотой 40/1000=0,04;

Аналогично, p р = 0,04, p ф = 0,002. Далее поступаем согласно К.Шеннону. Берем двоичный логарифм от величины 0,2 и называем то, что получилось количеством информации, которую переносит одна-единственная буква “а” в рассматриваемом тексте. Точно такую же операцию проделаем для каждой буквы. Тогда количество собственной информации, переносимой одной буквой равно log 2 1/ p i = - log 2 p i , Удобнее в качестве меры количества информации пользоваться средним значением количества информации, приходящейся на один символ алфавита

I ср = -

Значение I ср достигает максимума при равновероятных событиях, то есть при равенстве всех p i

p i = 1 / N .

В этом случае формула Шеннона превращается в формулу Хартли.

I = M*I ср =4*(-(0,002*log 2 0,002+0,2* log 2 0,2+0,04* log 2 0,04+0,2* log 2 0,2))=4*(-(0,002*(-8,967)+0,2*(-2,322)+0,04*(-4,644)+0,2*(-2,322)))=4*(-(-0,018-0,46-0,19-0,46))=4*1,1325=4,53

Ответ: 4,53 бита

Алфавитный подход к измерению информации

Алфавитный подход используется в технике, в данном случае количество информации не зависит от содержания, а зависит от мощности алфавита и количества символов в тексте.

Для кодировки ASCII – мощность алфавита=256

I=log 2 256=8(бит);При кодировании символьной информации в кодах каждый символ, включая пробелы и знаки препинания, кодируется 1 байтом (8 битами).

Единицы измерения информации в вычислительной технике

• 3. Технологии передачи данных. Ethernet, Token Ring, ISDN, X.25, Frame Relay.
• 4. Устройства межсетевого интерфейса: повторители, мосты, маршрутизаторы, шлюзы. Методы коммутации и маршрутизации. Способы повышения производительности сети
• 5 .Одноранговые и серверные сети: сравнительная характеристика. Основные виды специализированных серверов.
• 6. Технологическая основа сети Интернет. Система адресации (IP-адреса, доменные имена, система DNS). Основные протоколы общения в сети.
• 7. Базовые пользовательские технологии работы в сети Интернет. WWW, FTP, TELNET, E-MAIL. Поиск информации в сети Интернет.
• 9. Базы данных: данные, модель данных, база данных, система управления базами данных, информационная система. Модели данных. Реляционная модель данных.
• 12. Проектирование информационных систем. Структура и модели жизненного цикла.
• 13. Моделирование и представление структуры предприятия. Диаграммы IDEF0.
• 14. Моделирование и представление потоков данных. DFD-диаграммы.
• 16. Экспертные системы (ЭС): понятие, назначение, архитектура, отличительные особенности. Классификация ЭС. Этапы разработки ЭС.
• 17. Базы знаний экспертных систем. Методы представления знаний: логические модели, продукционные правила, фреймы, семантические сети.
• 18 Знания. Виды знаний. Методы извлечения знаний: коммуникативные, текстологические.
• 19 Языки программирования, их характеристики (Пролог, Delphi, C++).
• 20. Языки программирования, их характеристики (PHP, Perl, JavaScript).
• 21. Цели, задачи, принципы и основные направления обеспечения информационной безопасности Российской Федерации. Правовая, организационная, инженерно-техническая защита информации.
• 22. Электронные издания: понятие, состав. Классификация ЭИ. Регистрация ЭИ.
• 23. Информационные ресурсы: понятие, состав. Государственные информационные ресурсы.
• 24. Операционная система персонального компьютера как средство управления ресурсами (на примере изучаемой ОС). Структура и компоненты ОС.
• 25. Вредоносное программное обеспечение: классификации, методы обнаружения и удаления.
• 26 Структура web-приложений. Протокол HTTP. Cookie. Функции web-приложения. Протокол CGI.
• 27 Обеспечение надежности работы ИС. Транзакции. OLTP-системы.
• 28. Эргономические цели и показатели качества программного продукта.
• 31.Информационный менеджмент: понятие и основные функции.
• 33 Стандартизация в области программного обеспечения. Стандарты документирования программных средств.
• 34. Оценка качественных и количественных характеристик информационных систем. Модели оценки характеристик надежности программного и информационного обеспечения. Основные понятия, показатели и методы обеспечения надежности информационных систем.
• 36.Особенности выполнения инновационных программ в сфере информатизации (характеристика информационной политики в сфере информатизации, принципы формирования проекта и внедрения ИС, управление проектами информатизации).

Мы уже упоминали, что формула Хартли – частный случай формулы Шеннона для равновероятных альтернатив.

Подставив в формулу (1) вместо p i его (в равновероятном случае не зависящее отi ) значение, получим:

Таким образом, формула Хартли выглядит очень просто:

(2)

Из нее явно следует, что чем больше количество альтернатив (N ), тем больше неопределенность (H ). Эти величины связаны в формуле (2) не линейно, а через двоичный логарифм. Логарифмирование по основанию 2 и приводит количество вариантов к единицам измерения информации – битам.

Заметьте, что энтропия будет являться целым числом лишь в том случае, если N является степенью числа 2, т.е. еслиN принадлежит ряду:{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048…}

Рис. 10. Зависимось энтропии от количества равновероятных вариантов выбора (равнозначных альтернатив).

Напомним, что такое логарифм.

Рис. 11. Нахождение логарифма b по основаниюa - это нахождениестепени , в которую нужно возвестиa , чтобы получитьb .

Логарифм по основанию 2 называется двоичным :

log 2 (8)=3 => 2 3 =8

log 2 (10)=3,32 => 2 3,32 =10

Логарифм по основанию 10 –называется десятичным :

log 10 (100)=2 => 10 2 =100

Основные свойства логарифма:

log(1)=0, т.к. любое число в нулевой степени дает 1;

log(a b)=b*log(a);

log(a*b)=log(a)+log(b);

log(a/b)=log(a)-log(b);

log(1/b)=0-log(b)=-log(b).

Для решения обратных задач, когда известна неопределенность (H ) или полученное в результате ее снятия количество информации (I ) и нужно определить какое количество равновероятных альтернатив соответствует возникновению этой неопределенности, используют обратную формулу Хартли, которая выглядит еще проще:

(3)

Например, если известно, что в результате определения того, что интересующий нас Коля Иванов живет на втором этаже, было получено 3 бита информации, то количество этажей в доме можно определить по формуле (3), как N =2 3 =8 этажей .

Если же вопрос стоит так: “в доме 8 этажей, какое количество информации мы получили, узнав, что интересующий нас Коля Иванов живет на втором этаже?”, нужно воспользоваться формулой (2): I = log 2 (8)=3 бита .

1. Количество информации, получаемой в процессе сообщения

До сих пор мы приводили формулы для расчета энтропии (неопределенности) H , указывая, чтоH в них можно заменять наI , потому что количество информации, получаемоепри полном снятии неопределенности некоторой ситуации, количественно равно начальной энтропии этой ситуации.

Но неопределенность может быть снята только частично, поэтому количество информации I , получаемой из некоторого сообщения, вычисляется какуменьшение энтропии, произошедшее в результате получения данногосообщения .

(4)

Для равновероятного случая , используя для расчета энтропии формулу Хартли, получим:

(5)

Второе равенство выводится на основании свойств логарифма. Таким образом, в равновероятном случае I зависит от того,во сколько раз изменилось количество рассматриваемых вариантов выбора (рассматриваемое разнообразие).

Исходя из (5) можно вывести следующее:

Если
, то
- полное снятие неопределенности, количество полученной в сообщении информации равно неопределенности, которая существовала до получения сообщения.

Если
, то
- неопределенности не изменилась, следовательно, информации получено не было.

Если
, то
=>
, если
,
=>
. Т.е. количество полученной информации будет положительной величиной, если в результате получения сообщения количество рассматриваемых альтернатив уменьшилось, и отрицательной, если увеличилось.

Если количество рассматриваемых альтернатив в результате получения сообщения уменьшилось вдвое, т.е.
, тоI= log 2 (2)=1 бит. Другими словами, получение 1 бита информации исключает из рассмотрения половину равнозначных вариантов.

Рассмотрим в качестве примера опыт с колодой из 36 карт.

Рис. 12. Иллюстрация к опыту с колодой из 36-ти карт.

Пусть некто вынимает одну карту из колоды. Нас интересует, какую именно из 36 карт он вынул. Изначальная неопределенность, рассчитываемая по формуле (2), составляет H = log 2 (36)  5,17 бит . Вытянувший карту сообщает нам часть информации. Используя формулу (5), определим, какое количество информации мы получаем из этих сообщений:

Вариант A . “Это карт а красной масти ”.

I=log 2 (36/18)=log 2 (2)=1 бит (красных карт в колоде половина, неопределенность уменьшилась в 2 раза).

Вариант B . “Это карт а пиковой масти ”.

I=log 2 (36/9)=log 2 (4)=2 бита (пиковые карты составляют четверть колоды, неопределенность уменьшилась в 4 раза).

Вариант С. “Это одна из старших карт: валет, дама, король или туз”.

I=log 2 (36)–log 2 (16)=5,17-4=1,17 бита (неопределенность уменьшилась больше чем в два раза, поэтому полученное количество информации больше одного бита).

Вариант D . “Это одна карта из колоды".

I=log 2 (36/36)=log 2 (1)=0 бит (неопределенность не уменьшилась - сообщение не информативно).

Вариант D . “Это дама пик ".

I=log 2 (36/1)=log 2 (36)=5,17 бит (неопределенность полностью снята).

Априори известно, что шарик находится в одной из трех урн: А, В или С. Определите, сколько бит информации содержит сообщение о том, что он находится в урне В. Варианты: 1 бит, 1,58 бита, 2 бита, 2,25 бита.

Вероятность первого события составляет 0,5, а второго и третьего 0,25. Чему для такого распределения равна информационная энтропия. Варианты: 0,5 бита, 1 бит, 1,5 бита, 2 бита, 2,5 бита, 3 бита.

Вот список сотрудников некоторой организации:

Определите количество информации, недостающее для того, чтобы выполнить следующие просьбы:

Пожалуйста, позовите к телефону Иванову.

Меня интересует одна ваша сотрудница, она 1970 года рождения.

Какое из сообщений несет больше информации:

В результате подбрасывания монеты (орел, решка) выпала решка.

На светофоре (красный, желтый, зеленый) сейчас горит зеленый свет.

В результате подбрасывания игральной кости (1, 2, 3, 4, 5, 6) выпало 3 очка.